Les transformations des expressions algébriques. Mathématiques – Développer et factoriser – Cours en ligne. Comment développer la multiplication en addition? Comment chercher le facteur commun? cours et exercices.
Cours Développer, factoriser et simplifier 3AC
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sommaire
Développement et réductions d’expressions littérales
Égalités usuelles ou Identités remarquables
Applications : combinaisons des deux méthodes
Factorisation
Cas où le facteur commun est caché
L’utilisation des égalités usuelles
Combinaison simultanée des deux méthodes
Simplification
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Développement et réductions d’expressions littérales
Développer une expression littérale, c’est l’utilisation directe de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.
I.1 La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction
Soient a, b, c et d quatre réels ; on a :
⋅ a(b+c)=a.b+a.c
⋅ a(b−c)=a.b−a.c
⋅ (a+b)(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d
⋅ (a+b)(c−d)=a.c−a.d+b.c−b.d
⋅ (a−b)(c+d)=a.c+a.d−b.c−b.d
⋅ (a−b)(c−d)=a.c−a.d−b.c+b.d
Application :
Développons puis réduisons les expressions littérales suivantes :
A=(3x+2)(2x−3)−(x−2)(3x−1)−x(4x+3)
=(6x2−9x+4x−6)−(3x2−x−6x+2)−(4x2+3x)
=6x2−9x+4x−6−3x²+x+6x−2−4x²−3x
=−x2-x−8
D’où, A=−23x2+x−16
B=5(3x−2)(−x+5)−4(3x−2)(−7x+2)−15x(3x−2)
=5(−3x2+15x+2x−10)−4(−21x²+6x+14x−4)−(45x²−30x)
=(−15x²+75x+10x−50)−(−84x²+24x+56x−16)−(45x²−30x)
=−15x2+75x+10x−50+84x2−24x−56x+16−45x2+30x
D’où, B=24x²+35x−34
Égalités usuelles ou Identités remarquables
Soient a et b deux nombres réels ; on a :
⋅ (a+b)2=a²+2ab+b²
⋅ (a−b)²=a²−2ab+b²
⋅ (a+b)(a−b)=a²−b²
Applications :
Développons les expressions suivantes :
A=(3x+2)²
=9x²+12x+4
B=(2√3x−3)²
=12x²−12√3x+9
C=(2√3x−2√7)(2√3x+2√7)
=12x²−28
Applications : combinaisons des deux méthodes
Développons puis réduisons les expressions littérales suivantes :
A=2(3x−2)²+3(2x−3)(2x+3)−(4x−2)(3x−1)
=2(9x²−12x+4)+3(4x²−9)−(12x²−4x−6x+2)
=(18x²−24x+8)+(12x²−27)−(12x²−4x−6x+2)
=18x²−24x+8+(12x²−27−12x²+4x+6x−2
D’où, A=18x²−14x−21
B=3(−2x+1)²+2(−3x+2)(2x+3)−4(3+2x)²
=3(4x²−4x+1)+2(6x²−9x+4x−6)−4(9+12x+4x²)
=(12x²−12x+3)+(−12x²−18x+8x+12)−(36+42x+16x²)
=12x²−12x+3−12x²−18x+8x+12−36−42x−16x²
D’où, B=−16x²−70x−21
Factorisation
Factoriser une expression littérale c’est mettre ces termes sous la forme de produits de deux ou plusieurs facteurs par l’utilisation dans le sens inverse de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.
⋅ a.b+a.c=a(b+c)
⋅ a.b−a.c=a(b−c)
⋅ a.b+a.d+b.c+b.d=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
⋅ a.b−a.d+b.c−b.d=a(c−d)+b(c−d)=(a+b)(c−d)
⋅ a.b+a.d−b.c−b.d=a(c+d)−b(c+d)=(a−b)(c+d)
⋅ a.b−a.d−b.c+b.d=a(c−d)−b(c−d)=(a−b)(c−d)
⋅
des égalités usuelles
⋅ a²+2ab+b²=(a+b)²
⋅ a²−2ab+b²=(a−b)²
⋅ a²−b²=(a+b)(a−b)
Il n’y a pas de méthodes spécifiques pour faire une factorisation, on aura soit à mettre en évidence un facteur commun, soit à utiliser les égalités usuelles ou soit à combiner à la fois les deux méthodes.
II.1 Mise en évidence du facteur commun
Cas où le facteur commun est apparent
Exemple :
Factorisons les expressions littérales suivantes
A=(2x−1)²+(2x−1)(3x+5)−4x(2x−1)+(2x−1)
=(2x−1)[(2x−1)+(3x+5)−4x+1]
=(2x−1)(2x−1+3x+5−4x+1)
D’où, A=(2x−1)(x+5)
B=3(x+3)(x−3)−2(2x+1)(x+3)−(x+3)
=(x+3)[3(x−3)−2(2x+1)−1]
=(x+3)(3x−9−4x−1−2)
D’où, B=(x+3)(−x−12) ou bien B=(x+3)(x+12)
Cas où le facteur commun est caché
Il faut procéder à des factorisations partielles au niveau des termes qui composent l’expression afin de mettre en évidence le facteur commun.
Exemple :
Factorisons les expressions littérales suivantes :
A=(−2x+1)²−(6x−3)(5x+1)−(4x−2)
=(2x−1)[(2x−1)−3(5x+1)−2]
=(2x−1)(2x−1−15x−3−2)
D’où, A=(2x−1)(−13x−6)=−(2x−1)(13x+6)
B=(15x+10)(−x+5)−(12x−8)(−7x+2)−5(6x−9×2)
=5(3x−2)(−x+5)−4(3x−2)(−7x+2)−15x(2−3x)
=5(3x−2)(−x+5)−4(3x−2)(−7x+2)+15x(3x−2)
=(3x−2)[5(−x+5)−4(−7x+2)+15x]
=(3x−2)(−5x+25+28x−8+15x)
D’où, B=(3x−2)(38x+17)
C=2(3−2x)²−(6x−9)(x+2)−2x+3
=2(2x−3)²−3(2x−3)(x+2)−(2x−3)
=(2x−3)[2(2x−3)−3(x+2)−1]
=(2x−3)(4x−6−3x+6−1)
D’où, C=(2x−3)(x−13)
L’utilisation des égalités usuelles
Exemple :
Factorisons les expressions littérales suivante
A=9x²+6x+1=(3x+1)²
B=1625x²−2x+2516=(45x−54)²
C=49x²−36=(7x−6)(7x+6)
D=(2x+3)²−(x+2)²
Elle est de la forme : a²-b²=(a+b)(a-b) , donc :
=[(2x+3)+(x+2)][(2x+3)−(x+2)]
=(2x+3+x+2)(2x+3−x−2)
=(3x+5)(x+1)
E=(3x−1)²+2(3x−1)(2x+3)+(2x+3)²
Elle est de la forme :
=[(3x−1)+(2x+3)]²
=(5x+2)²
Combinaison simultanée des deux méthodes
Exemple :
Factorisons les expressions littérales suivantes :
A=2x²−98−(3x+21)(4x−3)+(2x²+28x+98)−2x−14
=2(x²−49)−3(x+7)(4x−3)+2(x²+14x+49)−(2x+14)
=2(x−7)(x+7)−3(x+7)(4x−3)+2(x+7)²−2(x+7)
=(x+7)[2(x−7)−3(4x−3)+2(x+7)−2]
=(x+7)(2x−14−12x+9+2x+14−2)
D’où, A=(x+7)(−8x+7)
B=(3x²−30x+75)+(2x−10)(2x−3)+(50−2x²)
=3(x²−10x+25)+2(x−5)(2x−3)+2(25−x²)
=3(x−5)²+2(x−5)(2x−3)+2(5−x)(5+x)
=3(x−5)²+2(x−5)(2x−3)−2(x−5)(5+x)
=(x−5)[3(x−5)+2(2x−3)−2(5+x)]
=(x−5)(3x−15+4x−6−10−2x)
D’où, B=(x−5)(5x−31)
Simplification
Simplifier un quotient d’expressions littérales dont les termes sont présentes de manière factorisée et dont la condition d’existence est initialement posée revient tout bonnement à éliminer autant de fois tout facteur commun entre les termes du quotient (le numérateur et le dénominateur).
Exemple :
A=(3x−2)(2x+5) / 3(3x−2)(x+5) = (2x+5) / (x+5)
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