Les transformations des expressions algébriques. Mathématiques – Développer et factoriser – Cours en ligne. Comment développer la multiplication en addition? Comment chercher le facteur commun? cours et exercices.

Cours Développer, factoriser et simplifier 3AC

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sommaire

Développement et réductions d’expressions littérales

Égalités usuelles ou Identités remarquables

Applications : combinaisons des deux méthodes

Factorisation 

Cas où le facteur commun est caché

L’utilisation des égalités usuelles

Combinaison simultanée des deux méthodes

Simplification

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Développement et réductions d’expressions littérales

Développer une expression littérale, c’est l’utilisation directe de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.

I.1 La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction

Soient a, b, c et d quatre réels ; on a :

⋅  a(b+c)=a.b+a.c

⋅  a(b−c)=a.b−a.c

⋅  (a+b)(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d

⋅  (a+b)(c−d)=a.c−a.d+b.c−b.d

⋅  (a−b)(c+d)=a.c+a.d−b.c−b.d

⋅  (a−b)(c−d)=a.c−a.d−b.c+b.d

Application :

Développons puis réduisons les expressions littérales suivantes :

A=(3x+2)(2x−3)−(x−2)(3x−1)−x(4x+3)

=(6x²−9x+4x−6)−(3x²−x−6x+2)−(4x²+3x)

=6x²−9x+4x−6−3x²+x+6x−2−4x²−3x

=−x²-x−8

D’où, A=−23x²+x−16

B=5(3x−2)(−x+5)−4(3x−2)(−7x+2)−15x(3x−2)

=5(−3x²+15x+2x−10)−4(−21x²+6x+14x−4)−(45x²−30x)

=(−15x²+75x+10x−50)−(−84x²+24x+56x−16)−(45x²−30x)

=−15x²+75x+10x−50+84x²−24x−56x+16−45x²+30x

D’où, B=24x²+35x−34

Égalités usuelles ou Identités remarquables

Soient a et b deux nombres réels ; on a :

⋅  (a+b)²=a²+2ab+b²

⋅  (a−b)²=a²−2ab+b²

⋅  (a+b)(a−b)=a²−b²

Applications :

Développons les expressions suivantes :

A=(3x+2)²

=9x²+12x+4

B=(2√3x−3)²

=12x²−12√3x+9

C=(2√3x−2√7)(2√3x+2√7)

=12x²−28

Applications : combinaisons des deux méthodes

Développons puis réduisons les expressions littérales suivantes :

A=2(3x−2)²+3(2x−3)(2x+3)−(4x−2)(3x−1)

=2(9x²−12x+4)+3(4x²−9)−(12x²−4x−6x+2)

=(18x²−24x+8)+(12x²−27)−(12x²−4x−6x+2)

=18x²−24x+8+(12x²−27−12x²+4x+6x−2

D’où, A=18x²−14x−21

B=3(−2x+1)²+2(−3x+2)(2x+3)−4(3+2x)²

=3(4x²−4x+1)+2(6x²−9x+4x−6)−4(9+12x+4x²)

=(12x²−12x+3)+(−12x²−18x+8x+12)−(36+42x+16x²)

=12x²−12x+3−12x²−18x+8x+12−36−42x−16x²

D’où, B=−16x²−70x−21

Factorisation 

Factoriser une expression littérale c’est mettre ces termes sous la forme de produits de deux ou plusieurs facteurs par l’utilisation dans le sens inverse de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.

⋅  a.b+a.c=a(b+c)

⋅  a.b−a.c=a(b−c)

⋅  a.b+a.d+b.c+b.d=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

⋅  a.b−a.d+b.c−b.d=a(c−d)+b(c−d)=(a+b)(c−d)

⋅  a.b+a.d−b.c−b.d=a(c+d)−b(c+d)=(a−b)(c+d)

⋅  a.b−a.d−b.c+b.d=a(c−d)−b(c−d)=(a−b)(c−d)

⋅ 

des égalités usuelles 

⋅  a²+2ab+b²=(a+b)²

⋅  a²−2ab+b²=(a−b)²

⋅  a²−b²=(a+b)(a−b)

Il n’y a pas de méthodes spécifiques pour faire une factorisation, on aura soit à mettre en évidence un facteur commun, soit à utiliser les égalités usuelles ou soit à combiner à la fois les deux méthodes.

II.1 Mise en évidence du facteur commun

Cas où le facteur commun est apparent

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivantes

A=(2x−1)²+(2x−1)(3x+5)−4x(2x−1)+(2x−1)

=(2x−1)[(2x−1)+(3x+5)−4x+1]

=(2x−1)(2x−1+3x+5−4x+1)

D’où, A=(2x−1)(x+5)

B=3(x+3)(x−3)−2(2x+1)(x+3)−(x+3)

=(x+3)[3(x−3)−2(2x+1)−1]

=(x+3)(3x−9−4x−1−2)

D’où, B=(x+3)(−x−12)  ou bien  B=(x+3)(x+12)

Cas où le facteur commun est caché

Il faut procéder à des factorisations partielles au niveau des termes qui composent l’expression afin de mettre en évidence le facteur commun.

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivantes :

A=(−2x+1)²−(6x−3)(5x+1)−(4x−2)

=(2x−1)[(2x−1)−3(5x+1)−2]

=(2x−1)(2x−1−15x−3−2)

D’où, A=(2x−1)(−13x−6)=−(2x−1)(13x+6)

B=(15x+10)(−x+5)−(12x−8)(−7x+2)−5(6x−9×2)

=5(3x−2)(−x+5)−4(3x−2)(−7x+2)−15x(2−3x)

=5(3x−2)(−x+5)−4(3x−2)(−7x+2)+15x(3x−2)

=(3x−2)[5(−x+5)−4(−7x+2)+15x]

=(3x−2)(−5x+25+28x−8+15x)

D’où, B=(3x−2)(38x+17)

C=2(3−2x)²−(6x−9)(x+2)−2x+3

=2(2x−3)²−3(2x−3)(x+2)−(2x−3)

=(2x−3)[2(2x−3)−3(x+2)−1]

=(2x−3)(4x−6−3x+6−1)

D’où, C=(2x−3)(x−13)

L’utilisation des égalités usuelles

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivante 

A=9x²+6x+1=(3x+1)²

B=1625x²−2x+2516=(45x−54)²

C=49x²−36=(7x−6)(7x+6)

D=(2x+3)²−(x+2)²

Elle est de la forme : a²-b²=(a+b)(a-b) , donc :

=[(2x+3)+(x+2)][(2x+3)−(x+2)]

=(2x+3+x+2)(2x+3−x−2)

=(3x+5)(x+1)

E=(3x−1)²+2(3x−1)(2x+3)+(2x+3)²

Elle est de la forme : a²+2a.b +b²=(a+b)², donc :

=[(3x−1)+(2x+3)]²

=(5x+2)²

Combinaison simultanée des deux méthodes

Exemple :

Factorisons les expressions littérales suivantes :

A=2x²−98−(3x+21)(4x−3)+(2x²+28x+98)−2x−14

=2(x²−49)−3(x+7)(4x−3)+2(x²+14x+49)−(2x+14)

=2(x−7)(x+7)−3(x+7)(4x−3)+2(x+7)²−2(x+7)

=(x+7)[2(x−7)−3(4x−3)+2(x+7)−2]

=(x+7)(2x−14−12x+9+2x+14−2)

D’où, A=(x+7)(−8x+7)

B=(3x²−30x+75)+(2x−10)(2x−3)+(50−2x²)

=3(x²−10x+25)+2(x−5)(2x−3)+2(25−x²)

=3(x−5)²+2(x−5)(2x−3)+2(5−x)(5+x)

=3(x−5)²+2(x−5)(2x−3)−2(x−5)(5+x)

=(x−5)[3(x−5)+2(2x−3)−2(5+x)]

=(x−5)(3x−15+4x−6−10−2x)

D’où, B=(x−5)(5x−31)

Simplification

Simplifier un quotient d’expressions littérales dont les termes sont présentes de manière factorisée et dont la condition d’existence est initialement posée revient tout bonnement à éliminer autant de fois tout facteur commun entre les termes du quotient (le numérateur et le dénominateur).

Exemple :

A=(3x−2)(2x+5) / 3(3x−2)(x+5) = (2x+5) / (x+5)

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